求解偏微分方程的LRBF形状参数自适应选择策略

中文题目：求解偏微分方程的LRBF形状参数自适应选择策略

论文题目：Adaptive selection strategy of shape parameters for LRBF for solving partial differential equations

录用期刊：Applied Mathematics and Computation (JCR Q1 TOP)

原文DOI：https://doi.org/10.1016/j.amc.2022.127645

录用时间：2022-10-18

封面摘要：

径向基配点无网格法由于其不依赖结构化网格的独特优势近年来受到广泛关注，在相关学者努力下，此类方法有效解决了地质模拟、电路优化等数值仿真领域诸多问题。本文提出了一种适用于LRBF的误差估计策略，并基于此提出了一种全新的LRBF自适应形状参数优化框架。

作者列表：

1） 李洋 中国石油大学（北京）信息科学与工程学院 控制科学与工程 博20

2） 刘得军 中国石油大学（北京）信息科学与工程学院 电子信息工程系 教授

3） 尹哲旭 中国石油大学（北京）信息科学与工程学院 信息与通信工程 硕20

4） 陈韵 中国石油大学（北京）信息科学与工程学院 控制科学与工程 博21

5） 孟晋 中国石油大学（北京）信息科学与工程学院 控制科学与工程 博19

背景与动机:

径向基配点无网格法（RBF）由于其不依赖结构化网格的独特优势近年来受到广泛关注，在相关学者的努力下，此类方法有效解决了地质模拟、电子电路优化等数值仿真领域的诸多问题。然而，此类方法目前仍存在两个问题导致无法被大范围推广应用。首先是大规模问题的处理，虽然全局RBF具有十分优秀的求解精度，但全局RBF所获得的刚度矩阵是满秩的，因此难以应用于大规模问题，同时全局RBF的大差异基函数组合会导致刚度矩阵病态。其次是形状参数的选取，形状参数的选取对解的精度有重要影响，获得高精度解的前提条件是需要选取合适的形状参数。针对目前RBF所面临的问题，相关学者提出了局部RBF（LRBF），相较于全局RBF，LRBF在局部矩阵构造过程中存在额外的局部矩阵求逆过程，该求逆过程使得如今多数用于形状参数选择的误差估计策略无法实施。本文中，我们提出了一种适用于LRBF的误差估计策略，并基于此误差估计策略构建了一套全新的LRBF自适应形状参数优化框架。

设计与实现:

已知LRBF求解过程首先会对求解区域节点离散，然后根据节点作用半径及邻点数量的要求构造局部节点集，通过采用径向基函数插值方式获得中心节点与相邻节点的关系。最终通过节点编号组装成总体刚度矩阵，以用于数值求解。

图1. LRBF局部域生成方法示例

在无已知解析解的情况下，对形状参数c的选择需要一种误差估计方法以判断目前所选形状参数是否良好，传统的误差估计方法基于LOOCV或MLE理论，但由于局部逆矩阵Kl的存在此类误差估计方法无法实施，本文基于LRBF的局部矩阵构造特性，提出了一种基于局部二范数残差的误差估计方法，并相应提出了孪生矩阵构造法用于快速实现该过程，其中RG为误差评估因子，通过最小化RG来寻找此模型最为合适的形状参数。

根据所提出误差估计方法，我们给出了一套全局自适应形状参数LRBF求解偏微分方程的完整算法框架（OC-LRBF），由于该框架中包含非线性优化问题，我们在这里添加了一个简单的PSO算法用于处理这部分。

表1. OC-LRBF算法流程框架

实验结果及分析:

在实验部分，我们分别对误差估计方法的准确性以及OC-LRBF的稳定性进行了研究。，针对所提出误差估计策略，我们选择了9个具有解析解的偏微分方程测试样本用于策略稳定性测试，测试过程中同时考虑了不同节点密度及分布类型的影响，结果表明该误差估计方法可较为准确的标定出良好的形状参数。

表2 .九个测试函数的定义

图2. 本文提出参数c寻优结果与实际最优c结果LRBF精度比较（不同节点密度、及局部节点数量条件下，如表2所给出的9个测试函数二范数误差结果）。

图3. 基于本文提出的误差估计策略的误差估计曲线与实际误差曲线比较结果，可以发现两个曲线分布趋势基本一致，误差估计参数的最小值也是真实误差的最小值。

最后，我们选择了一个传输线问题验证该算法框架的应用有效性，由于这一问题没有解析解，故我们将文中提出的方法计算结果与FEM的计算结果进行了比较，计算结果表明OC-LRBF的结果与FEM的结果几乎一致。

图4 传输线问题描述，如图（a）所示在一个屏蔽腔内，高导传输带贴附在固定基材上，由于求解区是对称的，可以简化为如图（b）所示的泊松问题，传输带为高电位Dirichlet边界，屏蔽腔接地作为零电位Dirichlet边界，对称面为Neumann边界。

图5 传输线问题计算结果可观察到本文所提出的OC-LRBF计算结果与FEM结果基本一致（FEM计算结果采用comsol软件）。

结论:

本文提出了一种适用于偏微分方程求解的LRBF的形状参数选择策略。在该策略中我们采用了一种局部二范数残差平均值作为误差估计指标，并相应提出了孪生矩阵构造法来实现这该计算过程，相较于传统误差估计方法，该方法的计算效率更高，且可应用于LRBF。此外，基于所得到的误差估计指标，设计了基于PSO的全新LRBF自适应形状参数优化框架。通过实验测试，证明了该方法可有效找到良好的形状参数。此外，我们还添加了一个数值例子来证明这组方法可以处理一些简单的实际问题。该框架对LRBF的稳定性及精度有着明显的提升。未来的研究将更多地关注计算效率和复杂问题处理。

作者简介:

李洋，博士在读，中国石油大学（北京）, 控制理论与控制工程专业。导师：刘得军，教授。研究方向：应用物理，地球物理方法，计算电磁学，基于电磁散射理论在地球物理探测上的应用。

联系方式：Email: 1137712887@qq.com

通讯作者简介:

刘得军，教授，中国石油大学（北京），信息科学与工程学院电子信息工程系，博士生导师。研究方向：电磁测量方法与数值模拟技术、电缆高速数据传输理论与技术、机电测量系统虚拟样机设计等。总计发表科学论文150余篇。

联系方式：Email: liudj65@163.com