期刊名称：石油地球物理勘探（2021，EI收录中文核心期刊）

原文链接：10.13810/j.cnki.issn.1000-7210.2021.04.007

作者列表：

1. 薛亚茹 中国石油大学（北京）信息科学与工程学院 信息与通信工程

2. 郭蒙军 中国石油大学（北京）信息科学与工程学院 信息与通信工程 研19

3. 冯璐瑜 中国石油大学（北京）信息科学与工程学院 控制科学与工程 博20

4. 马继涛 中国石油大学（北京）地球物理学院

5. 陈小宏 中国石油大学（北京）地球物理学院

文章简介：

基于 Bayes反演理论的迭代加权方法改善了Radon变换的分辨率，但其收敛速度较慢；由于Radon变换空间的强相关性，迭代软阈值方法（ISTA）应用于Radon变换反演时的收敛速度也较慢，且分辨率较低。本文将迭代加权最小二乘法嵌入ISTA 中，形成了加权ISTA算法。引入高分辨Radon变换中加权矩阵的思想，利用Radon参数的先验信息约束反演误差函数，合成记录和实际地震资料处理结果表明，该方法提高了Radon变换分辨率，在多次波分离、噪声压制中效果显著。

问题描述：

Radon变换的分辨率是其进行地震数据处理的关键因素。基于 Bayes 反演理论的迭代加权方法改善了 Radon 变换的分辨率，但其收敛速度较慢；由于 Radon 变换空间的强相关性，迭代软阈值方法（ISTA）应用于 Radon 变换反演时的收敛速度也较慢，且分辨率较低。为此，将迭代加权最小二乘法嵌入ISTA中，形成了加权 ISTA 算法。该方法引入高分辨 Radon 变换中加权矩阵的思想，利用 Radon 参数的先验信息约束反演误差函数，克服了ISTA 收敛速度慢、分辨率低的缺点。合成记录和实际地震资料处理结果表明，该方法提高了 Radon 变换分辨率，在多次波分离、噪声压制中效果显著。

具体实现：

1、 迭代软阈值方法求解Radon变换：

Radon变换可写为矩阵形式：

由于矩阵L通常不是方阵，无法求逆，其LS解分辨率低，基于L1范数的稀疏正则化是现今常用的高分辨率反演方法。构造高分辨率反演目标函数为：

迭代软阈值算法（ISTA）是上述优化问题常用求解方法之一，该算法求解过程不涉及矩阵求逆，计算效率高，每次迭代过程中经矩阵乘法后通过软阈值函数逐渐逼近所求变量，其迭代式为：

2、 迭代加权软阈值算法

迭代加权最小二乘法（IRLS）是高分辨Radon变换的另一种常用方法，构造目标函数如下：

将上式最小化，可得迭代加权最小二乘法如下：

为克服ISTA中Radon共轭算子分辨率低的问题，引入IRLS的Radon变换中权重矩阵思想，将IRLS的加权反演矩阵引入ISTA中，得到迭代加权软阈值算法（R-ISTA）公式：

与传统的ISTA公式相比，本文引入与加权矩阵相关的反演矩阵：

与传统ISTA方法相比，本文所提R-ISTA方法通过引入权重矩阵使Radon域能量聚焦，当上一次迭代得到的Radon域数据M部分能量较低时，则相应的权重矩阵较大。类似地，当前一次迭代得到的M数据部分能量较高时，其对应的权重矩阵较小；随后经矩阵求逆运算，使得数据M中能量强的部分继续加强，能量弱的部分进一步减弱，以此达到高分辨率Radon变换的目的。

主要结果：

为比较ISTA、IRLS及R-ISTA三种方法实现Radon变换的分辨率及压制多次波的效果，本文将三种方法分别处理模拟数据以及实际数据。

模拟数据处理结果如下：

观察、对比可见：ISTA反演得到的Radon域数据能量较分散，分辨率较低，无法分离剩余时差差异较小的两同相轴；主频约束IRLS虽可将其分离，但还是存在能量扩散现象；而主频约束R-ISTA反演得到的Radon参数能量集中，分辨率高。

进一步分析反演所得结果(图 3)，可知一次波与多次波已分离，去除其中一次波，经Radon反变换可得到时域多次波数据，从原始地震数据减去多次波数据，即可达到去除多次波的效果。可得一次波如下：

实际数据处理结果如下：

实际数据共13炮，图8b为对原始数据按炮点距离排序后的实际数据。经动校正后，一次波同相轴基本被校平，曲率较小，而多次波仍有剩余时差，曲率较大，故可根据曲率的不同分离一次波与多次波。从图8b可见多次波主要存在于图像中部（红色椭圆）区域。

观察图8d~图8f中三种方法反演的 Radon域数据，可见主频约束R-ISTA求取的Radon域数据比另两种方法更稀疏，去除多次波后可保留更多一次波信息；从图9d~图9f中箭头所指部分可见，与原始数据相比，经三种方法处理后，ISTA对多次波的压制效果欠佳，另两种方法的压制多次波效果较理想，且主频约束R-ISTA比主频约束IRLS的一次波同相轴更清晰。

作者简介：

薛亚茹，博士，副教授，博导。目前主要研究方向是数字信号处理、机器学习，尤其关注现代信号处理技术再地震资料处理中的应用，发表论文多篇。现为美国勘探地球物理家学会(SEG)和欧洲地球物理家与工程师学会(EAGE)会员。